terça-feira, 9 de julho de 2013
vetores
23. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira
ou falsa: se $\Vert \vec u + \vec v \|^2 = \Vert \vec u \|^2 + \Vert \vec v \|^2,$
então $\vec u$ e $\vec v$ são vetores ortogonais.
$\Vert \vec u + \vec v \|^2 = \Vert \vec u \|^2 + \Vert \vec v \|^2 \Leftrightarrow ( \vec u + \vec v ) \bullet ( \vec u + \vec v )\ = \vec u \bullet \vec u + \vec v \bullet \vec v \Leftrightarrow \vec u \bullet ( \vec u + \vec v )\ + \vec v \bullet ( \vec u + \vec v )\ = \vec u \bullet \vec u + \vec v \bullet \vec v$
$\Leftrightarrow \vec u \bullet \vec u + \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec u + \vec v \bullet \vec v = \vec u \bullet \vec u + \vec v \bullet \vec v \Leftrightarrow \vec u \bullet \vec v = 0$
24. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec u$ é ortogonal a $\vec v$ e $\vec w,$ então $\vec u$ é ortogonal a $\vec v + \vec w.$
Verdadeira.
$\vec u \bullet ( \vec v + \vec w )\ = \vec u \bullet \vec v + \vec u \bullet \vec w = 0$
25. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec u$ é ortogonal a $\vec v + \vec w,$ então $\vec u$ é ortogonal a $\vec v$ e $\vec w.$
Falsa.
$\vec u = (1, 1), \vec v = (- 1, 0)$ e $\vec w = (0, 1)$
26. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec a \bullet \vec b = \vec a \bullet \vec c,$ e $\vec a \ne \vec 0,$ então $\vec b = \vec c.$
Falsa.
$\vec a = (1, 1), \vec b = (- 1, 1)$ e $\vec c = (1, - 1)$
27. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\Vert \vec u + \vec v \| = 0,$ então $\vec u = - \vec v.$
Verdadeira.
$\Vert \vec u + \vec v \| = 0 \Leftrightarrow \vec u + \vec v = \vec 0 \Leftrightarrow \vec u = - \vec v$
28. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: cada conjunto ortonormal de vetores em $\mathbb {R^n}$ é, também um conjunto ortogonal.
Verdadeira, todos os vetores do conjunto ortonormal são ortogonais entre si.
29. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $a \vec u = \vec 0,$ então ou $a\ = 0$ ou $\vec u = \vec 0.$
Falsa.
$a\ \vec u = \vec 0 \Leftrightarrow a\ = 0 \lor \vec u = \vec 0$
30. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se dois vetores $\vec u$ e $\vec v$ em $\mathbb {R^2}$ são ortogonais a um vetor não nulo $\vec w$ em $\mathbb {R^2},$ então $\vec u$ e $\vec v$ são múltiplos escalares um do outro.
Verdadeira, como $\vec u$ e $\vec v$ são ortogonais a um vetor não nulo $\vec w$ em $\mathbb {R^2},$ logo $\vec u$ e $\vec v$ têm a mesma direção, $\exists k \in \mathbb {R}: \vec u = k \vec v$
31. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: existe um vetor $\vec u$ em $\mathbb {R^3}$ tal que $\Vert \vec u – (1, 1, 1) \| \le 3$ e $\Vert \vec u – (- 1, - 1, - 1) \| \le 3.$
Verdadeira, $\vec u = (0, 0, 0)$
32. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec u$ é um vetor em $\mathbb {R^3}$ que é ortogonal aos vetores $(1, 0, 0), (0, 1, 0),$ e $(0, 0, 1),$ então $\vec u = \vec 0.$
Verdadeira, $\vec u = (a, b, c) \in \mathbb {R^3}, \vec u \bullet (1, 0, 0)\ = \vec 0 \land \vec u \bullet (0, 1, 0)\ = \vec 0 \land \vec u \bullet (0, 0, 1)\ = \vec 0 \Leftrightarrow \vec u = \vec 0$
33. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec u \bullet \vec v = 0$ e $\vec v \bullet \vec w = 0$ então $\vec u \bullet \vec w = 0.$
Falsa.
$\vec u = (1, 0), \vec v = ( 0, 1)$ e $\vec w = (2, 0)$
34. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: $\Vert \vec u + \vec v \| = \Vert \vec u \| + \Vert \vec v \|.$
Falsa.
$\vec u = (1, 0)$ e $\vec v = (0, 1)$
35. Prova que se $\vec u_1, \vec u_2, \cdots , \vec u_n$ são vetores de $\mathbb{R^n}$ dois a dois ortogonais, então $\Vert \vec u_1 + \vec u_2 + \cdots + \vec u_n \|^2 = \Vert \vec u_1 \|^2 + \Vert \vec u_2 \|^2 + \cdots + \Vert \vec u_n \|^2$
$\Vert \vec u_1 + \vec u_2 + \cdots + \vec u_n \|^2 = ( \vec u_1 + \vec u_2 + \cdots + \vec u_n ) \bullet ( \vec u_1 + \vec u_2 + \cdots + \vec u_n )$
$= \vec u_1 \bullet \vec u_1 + \vec u_1 \bullet \vec u_2 + \cdots + \vec u_1 \bullet \vec u_n + \vec u_2 \bullet \vec u_1 + \vec u_2 \bullet \vec u_2 + \cdots + \vec u_2 \bullet \vec u_n + \cdots + \vec u_n \bullet \vec u_1 + \vec u_n \bullet \vec u_2 + \cdots + \vec u_n \bullet \vec u_n$
$= \vec u_1 \bullet \vec u_1 + \vec u_2 \bullet \vec u_2 + \cdots + \vec u_n \bullet \vec u_n = \Vert \vec u_1 \|^2 + \Vert \vec u_2 \|^2 + \cdots + \Vert \vec u_n \|^2$
36. Usa a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que se $a_1$ e $a_2$ são números não negativos, então $\sqrt[] {a_1 a_2} \le \frac {a_1 + a_2} {2}.$ Generaliza o resultado para $n$ números não negativos.
$\vec u = ( \sqrt[] {a_1}, \sqrt[] {a_2} ), \vec v = ( \sqrt[] {a_2}, \sqrt[] {a_1} )$
$\vert \vec u \bullet \vec v \vert \le \Vert \vec u \| \Vert \vec v \| \Leftrightarrow \sqrt[] {a_1 a_2} \le \frac {a_1 + a_2} {2}$
$\sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n} \le \frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n} {n}$
37. Usa a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)\ (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$
$\vec u = ( u_1, u_2, \cdots , u_n ), \vec v = ( v_1, v_2, \cdots , v_n )$
$\vert \vec u \bullet \vec v \vert^2 \le \Vert \vec u \|^2 \Vert \vec v \|^2 \Leftrightarrow (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)\ (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$
38. Prova a identidade $\vec u \bullet \vec v = \frac {1} {4} \Vert \vec u + \vec v \|^2 - \frac {1} {4} \Vert \vec u - \vec v \|^2$ para vetores em $\mathbb{R^n},$ expressando ambos os lados em termos do produto escalar. Encontra $\vec u \bullet \vec v,$ sabendo que $\Vert \vec u + \vec v \| = 1$ e $\Vert \vec u - \vec v \| = 5$
$\frac {1} {4} \Vert \vec u + \vec v \|^2 - \frac {1} {4} \Vert \vec u - \vec v \|^2 = \frac {1} {4} ( \vec u + \vec v ) \bullet ( \vec u + \vec v ) - \frac {1} {4} ( \vec u - \vec v ) \bullet ( \vec u - \vec v ) = \vec u \bullet \vec v$
$\Vert \vec u + \vec v \| = 1 \Leftrightarrow \vec u \bullet \vec u + 2 \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v = 1$
$\Vert \vec u - \vec v \| = 5 \Leftrightarrow \vec u \bullet \vec u - 2 \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v = 25$
$\vec u \bullet \vec v = - 6$
39. Recorda que duas retas não verticais no plano são perpendiculares se e somente se o produto das suas inclinações é $- 1.$ Prova isto utilizando oproduto escalar. Começa por provar que se um vetor não nulo $\vec u = (a, b)$ é paralelo a uma reta de inclinação $m,$ então $\frac {b} {a} = m.$
O vetor não nulo e não vertical $\vec u = (a, b)$ paralelo a uma reta de inclinação $m_1 = \frac {b - 0} {a - 0}.$
O vetor não nulo e não vertical $\vec v = (c, d)$ paralelo a uma reta de inclinação $m_2 = \frac {d - 0} {c - 0}.$
Sejam $\vec u$ e $\vec v$ perpendiculares, $\vec u \bullet \vec v = 0 \Leftrightarrow \frac {b} {a} \frac {d} {c} = - 1$
40. Se $\vec u$ e $\vec v$ são vetores em $\mathbb{R^n},$ então $\vec u \bullet \vec v = \vec v \bullet \vec u$
$\vec u = ( u_1, u_2, \cdots , u_n ), \vec v = ( v_1, v_2, \cdots , v_n )$
$\vec u \bullet \vec v = (u_1 v_1, u_2 v_2, \cdots , u_n v_n)\ = (v_1 u_1, v_2 u_2, \cdots , v_n u_n)\ = \vec u \bullet \vec v$
41. Se $\vec u, \vec v$ e $\vec w$ são vetores em $\mathbb{R^n},$ então $\vec u \bullet (\vec v + \vec w) = \vec u \bullet \vec v + \vec u \bullet \vec w$
$\vec u = ( u_1, u_2, \cdots , u_n ), \vec v = ( v_1, v_2, \cdots , v_n ), \vec w = ( w_1, w_2, \cdots , w_n )$
$\vec u \bullet ( \vec v + \vec w )\ = ( u_1, u_2, \cdots , u_n ) \bullet ( v_1 + w_1, v_2 + w_2, \cdots , v_n + w_n )\ = ( u_1 v_1 + u_1 w_1, u_2 v_2 + u_2 w_2, \cdots , u_n v_n + u_n w_n )$
$= ( u_1 v_1, u_2 v_2, \cdots , u_n v_n )\ + ( u_1 w_1, u_2 w_2, \cdots , u_n w_n )\ = \vec u \bullet \vec v + \vec u \bullet \vec w$
42. Prova que se $\vec u, \vec v$ são vetores em $\mathbb{R^n}$ e se $k$ é um escalar, então $k\ ( \vec u \bullet \vec v ) = \vec u \bullet (k \vec v)$ sem decompor os vetores em componentes.
$\vec u, \vec v$ são vetores em $\mathbb {R^n}$ e $k$ é um escalar $k\ ( \vec u \bullet \vec v )\ = k\ ( \vec v \bullet \vec u )\ = ( k\ \vec v ) \bullet \vec u = \vec u \bullet ( k\ \vec v )$
43. Usa o resultado $\vec 0 = (0) \vec 0$ para provar que se $\vec v$ é um vetor em $\mathbb{R^n},$ então $\vec 0 \bullet \vec v = \vec v \bullet \vec 0 = 0$ sem decompor os vetores em componentes.
$\vec v \bullet \vec 0 = \vec 0 \bullet \vec v = (0) \vec 0 \bullet \vec v = (0) \vec v \bullet \vec 0 = \vec 0 \bullet \vec 0 = 0$
44. Considera um triângulo AXB inscrito numa circunferência, de tal modo que um lado coincide com um diâmetro, conforme a figura dada. Expressa os vetores $\vec {AX}$ e $\vec {BX}$ em termos dos vetores $\vec {OA}$ e $\vec {OX}$ e então usa o produto escalar para provar que o ângulo em $X$ é reto.
$\vec {AX} \bullet \vec {BX} = ( \vec x - \vec
a ) \bullet ( \vec a + \vec x )\ = \vec x \vec a + \vec x \vec x - \vec a \vec
a - \vec a \vec x = \vec x \vec x - \vec a \vec a = \Vert x \|^2 - \Vert a \|^2
= 0$
$\Vert \vec u + \vec v \|^2 = \Vert \vec u \|^2 + \Vert \vec v \|^2 \Leftrightarrow ( \vec u + \vec v ) \bullet ( \vec u + \vec v )\ = \vec u \bullet \vec u + \vec v \bullet \vec v \Leftrightarrow \vec u \bullet ( \vec u + \vec v )\ + \vec v \bullet ( \vec u + \vec v )\ = \vec u \bullet \vec u + \vec v \bullet \vec v$
$\Leftrightarrow \vec u \bullet \vec u + \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec u + \vec v \bullet \vec v = \vec u \bullet \vec u + \vec v \bullet \vec v \Leftrightarrow \vec u \bullet \vec v = 0$
24. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec u$ é ortogonal a $\vec v$ e $\vec w,$ então $\vec u$ é ortogonal a $\vec v + \vec w.$
Verdadeira.
$\vec u \bullet ( \vec v + \vec w )\ = \vec u \bullet \vec v + \vec u \bullet \vec w = 0$
25. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec u$ é ortogonal a $\vec v + \vec w,$ então $\vec u$ é ortogonal a $\vec v$ e $\vec w.$
Falsa.
$\vec u = (1, 1), \vec v = (- 1, 0)$ e $\vec w = (0, 1)$
26. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec a \bullet \vec b = \vec a \bullet \vec c,$ e $\vec a \ne \vec 0,$ então $\vec b = \vec c.$
Falsa.
$\vec a = (1, 1), \vec b = (- 1, 1)$ e $\vec c = (1, - 1)$
27. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\Vert \vec u + \vec v \| = 0,$ então $\vec u = - \vec v.$
Verdadeira.
$\Vert \vec u + \vec v \| = 0 \Leftrightarrow \vec u + \vec v = \vec 0 \Leftrightarrow \vec u = - \vec v$
28. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: cada conjunto ortonormal de vetores em $\mathbb {R^n}$ é, também um conjunto ortogonal.
Verdadeira, todos os vetores do conjunto ortonormal são ortogonais entre si.
29. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $a \vec u = \vec 0,$ então ou $a\ = 0$ ou $\vec u = \vec 0.$
Falsa.
$a\ \vec u = \vec 0 \Leftrightarrow a\ = 0 \lor \vec u = \vec 0$
30. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se dois vetores $\vec u$ e $\vec v$ em $\mathbb {R^2}$ são ortogonais a um vetor não nulo $\vec w$ em $\mathbb {R^2},$ então $\vec u$ e $\vec v$ são múltiplos escalares um do outro.
Verdadeira, como $\vec u$ e $\vec v$ são ortogonais a um vetor não nulo $\vec w$ em $\mathbb {R^2},$ logo $\vec u$ e $\vec v$ têm a mesma direção, $\exists k \in \mathbb {R}: \vec u = k \vec v$
31. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: existe um vetor $\vec u$ em $\mathbb {R^3}$ tal que $\Vert \vec u – (1, 1, 1) \| \le 3$ e $\Vert \vec u – (- 1, - 1, - 1) \| \le 3.$
Verdadeira, $\vec u = (0, 0, 0)$
32. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec u$ é um vetor em $\mathbb {R^3}$ que é ortogonal aos vetores $(1, 0, 0), (0, 1, 0),$ e $(0, 0, 1),$ então $\vec u = \vec 0.$
Verdadeira, $\vec u = (a, b, c) \in \mathbb {R^3}, \vec u \bullet (1, 0, 0)\ = \vec 0 \land \vec u \bullet (0, 1, 0)\ = \vec 0 \land \vec u \bullet (0, 0, 1)\ = \vec 0 \Leftrightarrow \vec u = \vec 0$
33. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: se $\vec u \bullet \vec v = 0$ e $\vec v \bullet \vec w = 0$ então $\vec u \bullet \vec w = 0.$
Falsa.
$\vec u = (1, 0), \vec v = ( 0, 1)$ e $\vec w = (2, 0)$
34. Indica justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: $\Vert \vec u + \vec v \| = \Vert \vec u \| + \Vert \vec v \|.$
Falsa.
$\vec u = (1, 0)$ e $\vec v = (0, 1)$
35. Prova que se $\vec u_1, \vec u_2, \cdots , \vec u_n$ são vetores de $\mathbb{R^n}$ dois a dois ortogonais, então $\Vert \vec u_1 + \vec u_2 + \cdots + \vec u_n \|^2 = \Vert \vec u_1 \|^2 + \Vert \vec u_2 \|^2 + \cdots + \Vert \vec u_n \|^2$
$\Vert \vec u_1 + \vec u_2 + \cdots + \vec u_n \|^2 = ( \vec u_1 + \vec u_2 + \cdots + \vec u_n ) \bullet ( \vec u_1 + \vec u_2 + \cdots + \vec u_n )$
$= \vec u_1 \bullet \vec u_1 + \vec u_1 \bullet \vec u_2 + \cdots + \vec u_1 \bullet \vec u_n + \vec u_2 \bullet \vec u_1 + \vec u_2 \bullet \vec u_2 + \cdots + \vec u_2 \bullet \vec u_n + \cdots + \vec u_n \bullet \vec u_1 + \vec u_n \bullet \vec u_2 + \cdots + \vec u_n \bullet \vec u_n$
$= \vec u_1 \bullet \vec u_1 + \vec u_2 \bullet \vec u_2 + \cdots + \vec u_n \bullet \vec u_n = \Vert \vec u_1 \|^2 + \Vert \vec u_2 \|^2 + \cdots + \Vert \vec u_n \|^2$
36. Usa a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que se $a_1$ e $a_2$ são números não negativos, então $\sqrt[] {a_1 a_2} \le \frac {a_1 + a_2} {2}.$ Generaliza o resultado para $n$ números não negativos.
$\vec u = ( \sqrt[] {a_1}, \sqrt[] {a_2} ), \vec v = ( \sqrt[] {a_2}, \sqrt[] {a_1} )$
$\vert \vec u \bullet \vec v \vert \le \Vert \vec u \| \Vert \vec v \| \Leftrightarrow \sqrt[] {a_1 a_2} \le \frac {a_1 + a_2} {2}$
$\sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n} \le \frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n} {n}$
37. Usa a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)\ (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$
$\vec u = ( u_1, u_2, \cdots , u_n ), \vec v = ( v_1, v_2, \cdots , v_n )$
$\vert \vec u \bullet \vec v \vert^2 \le \Vert \vec u \|^2 \Vert \vec v \|^2 \Leftrightarrow (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)\ (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$
38. Prova a identidade $\vec u \bullet \vec v = \frac {1} {4} \Vert \vec u + \vec v \|^2 - \frac {1} {4} \Vert \vec u - \vec v \|^2$ para vetores em $\mathbb{R^n},$ expressando ambos os lados em termos do produto escalar. Encontra $\vec u \bullet \vec v,$ sabendo que $\Vert \vec u + \vec v \| = 1$ e $\Vert \vec u - \vec v \| = 5$
$\frac {1} {4} \Vert \vec u + \vec v \|^2 - \frac {1} {4} \Vert \vec u - \vec v \|^2 = \frac {1} {4} ( \vec u + \vec v ) \bullet ( \vec u + \vec v ) - \frac {1} {4} ( \vec u - \vec v ) \bullet ( \vec u - \vec v ) = \vec u \bullet \vec v$
$\Vert \vec u + \vec v \| = 1 \Leftrightarrow \vec u \bullet \vec u + 2 \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v = 1$
$\Vert \vec u - \vec v \| = 5 \Leftrightarrow \vec u \bullet \vec u - 2 \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v = 25$
$\vec u \bullet \vec v = - 6$
39. Recorda que duas retas não verticais no plano são perpendiculares se e somente se o produto das suas inclinações é $- 1.$ Prova isto utilizando oproduto escalar. Começa por provar que se um vetor não nulo $\vec u = (a, b)$ é paralelo a uma reta de inclinação $m,$ então $\frac {b} {a} = m.$
O vetor não nulo e não vertical $\vec u = (a, b)$ paralelo a uma reta de inclinação $m_1 = \frac {b - 0} {a - 0}.$
O vetor não nulo e não vertical $\vec v = (c, d)$ paralelo a uma reta de inclinação $m_2 = \frac {d - 0} {c - 0}.$
Sejam $\vec u$ e $\vec v$ perpendiculares, $\vec u \bullet \vec v = 0 \Leftrightarrow \frac {b} {a} \frac {d} {c} = - 1$
40. Se $\vec u$ e $\vec v$ são vetores em $\mathbb{R^n},$ então $\vec u \bullet \vec v = \vec v \bullet \vec u$
$\vec u = ( u_1, u_2, \cdots , u_n ), \vec v = ( v_1, v_2, \cdots , v_n )$
$\vec u \bullet \vec v = (u_1 v_1, u_2 v_2, \cdots , u_n v_n)\ = (v_1 u_1, v_2 u_2, \cdots , v_n u_n)\ = \vec u \bullet \vec v$
41. Se $\vec u, \vec v$ e $\vec w$ são vetores em $\mathbb{R^n},$ então $\vec u \bullet (\vec v + \vec w) = \vec u \bullet \vec v + \vec u \bullet \vec w$
$\vec u = ( u_1, u_2, \cdots , u_n ), \vec v = ( v_1, v_2, \cdots , v_n ), \vec w = ( w_1, w_2, \cdots , w_n )$
$\vec u \bullet ( \vec v + \vec w )\ = ( u_1, u_2, \cdots , u_n ) \bullet ( v_1 + w_1, v_2 + w_2, \cdots , v_n + w_n )\ = ( u_1 v_1 + u_1 w_1, u_2 v_2 + u_2 w_2, \cdots , u_n v_n + u_n w_n )$
$= ( u_1 v_1, u_2 v_2, \cdots , u_n v_n )\ + ( u_1 w_1, u_2 w_2, \cdots , u_n w_n )\ = \vec u \bullet \vec v + \vec u \bullet \vec w$
42. Prova que se $\vec u, \vec v$ são vetores em $\mathbb{R^n}$ e se $k$ é um escalar, então $k\ ( \vec u \bullet \vec v ) = \vec u \bullet (k \vec v)$ sem decompor os vetores em componentes.
$\vec u, \vec v$ são vetores em $\mathbb {R^n}$ e $k$ é um escalar $k\ ( \vec u \bullet \vec v )\ = k\ ( \vec v \bullet \vec u )\ = ( k\ \vec v ) \bullet \vec u = \vec u \bullet ( k\ \vec v )$
43. Usa o resultado $\vec 0 = (0) \vec 0$ para provar que se $\vec v$ é um vetor em $\mathbb{R^n},$ então $\vec 0 \bullet \vec v = \vec v \bullet \vec 0 = 0$ sem decompor os vetores em componentes.
$\vec v \bullet \vec 0 = \vec 0 \bullet \vec v = (0) \vec 0 \bullet \vec v = (0) \vec v \bullet \vec 0 = \vec 0 \bullet \vec 0 = 0$
44. Considera um triângulo AXB inscrito numa circunferência, de tal modo que um lado coincide com um diâmetro, conforme a figura dada. Expressa os vetores $\vec {AX}$ e $\vec {BX}$ em termos dos vetores $\vec {OA}$ e $\vec {OX}$ e então usa o produto escalar para provar que o ângulo em $X$ é reto.
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